大家好，我是小新，我来为大家解答以上问题。单位圆与正弦函数余弦函数的基本性质，函数的基本性质很多人还不知道，现在让我们一起来看看吧！
1、令t=log(a)x（表示以a为底x的对数），则x=a^t ，t∈R
所以 f(t)=a[a^(2t)-1]/[(a^2-1)a^t]
所以 f(x)=a[a^(2x)-1]/[(a^2-1)a^x] ，x∈R 。
2、设x1<x2∈R，则
f(x1) - f(x2)=a[a^(2*x1)-1]/[(a^2-1)a^x1] - a[a^(2*x2)-1]/[(a^2-1)a^x2]
=a[(a^x1-1)a^x2-a^x1(a^x2-1)]/[(a^2-1)a^(x1+x2)]
=a(a^x1-a^x2)/[(a^2-1)a^(x1+x2)]
因为 a>0且a≠1，所以 a^(x1+x2)>0
当a>1时，由x1<x2，得
a^x1<a^x2 a^2>1 即 a^x1-a^x2<0 a^2-1>0
所以 f(x1) - f(x2)<0 即 f(x1) < f(x2)
所以 f(x)在R上为增函数。
当0<a<1时，由x1<x2，得
a^x1>a^x2 a^2<1 即 a^x1-a^x2>0 a^2-1<0
所以 f(x1) - f(x2)<0 即 f(x1) < f(x2)
所以 f(x)在R上为增函数。
综上，知 f(x)在R上为增函数。
3、因为 f(x)的定义域关于原点对称
又 f(-x)=a[a^(-2x)-1]/[(a^2-1)a^(-x)]
=a[1-a^(2x)]/[(a^2-1)a^x]
= - a[a^(2x)-1]/[(a^2-1)a^x]
= - f(x)
所以f(x)为奇函数。
本文到此讲解完毕了，希望对大家有帮助。