柯西中值定理的证明
柯西中值定理是微积分中的一个重要结论，它是拉格朗日中值定理的推广形式。该定理表明：若函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，在开区间 $(a, b)$ 内可导，且 $g'(x) \neq 0$，则存在点 $\xi \in (a, b)$，使得
$$
\frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}.
$$
以下为柯西中值定理的证明：
首先定义辅助函数 $h(x) = f(x) - f(a) - \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} \cdot [g(x) - g(a)]$。显然，$h(x)$ 满足以下条件：
1. $h(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续；
2. $h(x)$ 在 $(a, b)$ 内可导；
3. $h(a) = h(b) = 0$。
根据罗尔定理（Rolle's Theorem），在 $(a, b)$ 内至少存在一点 $\xi$，使得 $h'(\xi) = 0$。计算 $h'(x)$ 得到：
$$
h'(x) = f'(x) - \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} \cdot g'(x).
$$
令 $h'(\xi) = 0$，即
$$
f'(\xi) - \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} \cdot g'(\xi) = 0,
$$
整理后得到
$$
\frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}.
$$
因此，柯西中值定理得证。
这一结果揭示了两个函数变化率之间的关系，广泛应用于分析学与应用数学领域。例如，它可用于证明洛必达法则，并在优化问题中提供理论支持。柯西中值定理不仅深化了对函数性质的理解，也展示了数学工具的强大威力。