【定积分定义是什么】定积分是微积分中的一个基本概念，主要用于计算函数在某一区间上的“面积”或累积量。它与不定积分不同，定积分是一个具体的数值，而不是一个函数。定积分的定义基于极限思想，通过将区间分割、取近似值并求和，最终得到精确的结果。
一、定积分的基本定义
定积分是函数 $ f(x) $ 在闭区间 $[a, b]$ 上的积分，记作：
$$
\int_{a}^{b} f(x) \, dx
$$
其几何意义是：函数图像与 x 轴之间在区间 $[a, b]$ 内所围成的区域的“净面积”。
二、定积分的数学定义（黎曼积分）
设函数 $ f(x) $ 在区间 $[a, b]$ 上有定义，将该区间任意分成 $ n $ 个小区间，每个小区间的长度为 $ \Delta x_i $，在第 $ i $ 个小区间上任取一点 $ \xi_i $，则函数在该区间上的黎曼和为：
$$
S = \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i) \cdot \Delta x_i
$$
当所有小区间的最大长度趋于 0 时，若上述和式的极限存在，则称此极限为函数 $ f(x) $ 在区间 $[a, b]$ 上的定积分，即：
$$
\int_{a}^{b} f(x) \, dx = \lim_{\max \Delta x_i \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i) \cdot \Delta x_i
$$
三、定积分的性质总结
| 性质 | 描述 |
| 1. 线性性 | $\int_{a}^{b} [f(x) + g(x)] dx = \int_{a}^{b} f(x) dx + \int_{a}^{b} g(x) dx$ $\int_{a}^{b} c f(x) dx = c \int_{a}^{b} f(x) dx$（c 为常数） |
| 2. 区间可加性 | $\int_{a}^{b} f(x) dx + \int_{b}^{c} f(x) dx = \int_{a}^{c} f(x) dx$ |
| 3. 对称性 | $\int_{a}^{b} f(x) dx = -\int_{b}^{a} f(x) dx$ |
| 4. 零区间 | $\int_{a}^{a} f(x) dx = 0$ |
| 5. 积分中值定理 | 若 $ f(x) $ 在 $[a, b]$ 上连续，则存在 $ c \in [a, b] $，使得 $\int_{a}^{b} f(x) dx = f(c)(b - a)$ |
四、定积分的应用
- 几何应用：计算曲线下的面积、体积等。
- 物理应用：计算位移、功、能量等。
- 统计学应用：概率密度函数的积分表示概率。
五、定积分与不定积分的关系
定积分可以通过不定积分来计算，根据牛顿-莱布尼茨公式：
$$
\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)
$$
其中 $ F(x) $ 是 $ f(x) $ 的一个原函数（即 $ F'(x) = f(x) $）。
六、定积分的适用条件
- 函数 $ f(x) $ 在区间 $[a, b]$ 上必须是有界的；
- 函数 $ f(x) $ 在区间内不能有无限不连续点（如震荡型不连续）；
- 若函数在区间内有有限个不连续点，且这些点是可积的，仍可以定义定积分。
七、总结
定积分是微积分的重要组成部分，它不仅在数学理论中有广泛应用，在物理、工程、经济学等领域也具有重要意义。理解定积分的定义、性质及其应用，有助于更深入地掌握微积分的核心思想。