【复数的运算】在数学中，复数是实数与虚数的结合体，通常表示为 $ a + bi $，其中 $ a $ 是实部，$ b $ 是虚部，$ i $ 是虚数单位，满足 $ i^2 = -1 $。复数的运算包括加法、减法、乘法和除法等，掌握这些运算是进一步学习复数应用的基础。
一、复数的基本概念
| 概念 | 解释 |
| 复数 | 形如 $ a + bi $ 的数，其中 $ a, b \in \mathbb{R} $，$ i = \sqrt{-1} $ |
| 实部 | 复数中的 $ a $，表示实数部分 |
| 虚部 | 复数中的 $ b $，表示虚数部分 |
| 共轭复数 | 若 $ z = a + bi $，则其共轭为 $ \overline{z} = a - bi $ |
二、复数的四则运算
1. 加法
两个复数相加时，实部与实部相加，虚部与虚部相加。
$$
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
$$
示例：
$ (2 + 3i) + (4 + 5i) = 6 + 8i $
2. 减法
两个复数相减时，实部与实部相减，虚部与虚部相减。
$$
(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i
$$
示例：
$ (7 - 2i) - (3 + 4i) = 4 - 6i $
3. 乘法
复数相乘时，使用分配律展开，并将 $ i^2 $ 替换为 $ -1 $。
$$
(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2 = (ac - bd) + (ad + bc)i
$$
示例：
$ (1 + 2i)(3 + 4i) = 3 + 4i + 6i + 8i^2 = 3 + 10i - 8 = -5 + 10i $
4. 除法
复数相除时，通常需要将分母有理化，即乘以分母的共轭复数。
$$
\frac{a + bi}{c + di} = \frac{(a + bi)(c - di)}{(c + di)(c - di)} = \frac{(ac + bd) + (bc - ad)i}{c^2 + d^2}
$$
示例：
$ \frac{2 + 3i}{1 + i} = \frac{(2 + 3i)(1 - i)}{(1 + i)(1 - i)} = \frac{2 - 2i + 3i - 3i^2}{1 + 1} = \frac{5 + i}{2} = \frac{5}{2} + \frac{1}{2}i $
三、复数的运算总结表
| 运算类型 | 公式表达 | 示例 |
| 加法 | $ (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i $ | $ (2 + 3i) + (4 + 5i) = 6 + 8i $ |
| 减法 | $ (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i $ | $ (7 - 2i) - (3 + 4i) = 4 - 6i $ |
| 乘法 | $ (a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i $ | $ (1 + 2i)(3 + 4i) = -5 + 10i $ |
| 除法 | $ \frac{a + bi}{c + di} = \frac{(ac + bd) + (bc - ad)i}{c^2 + d^2} $ | $ \frac{2 + 3i}{1 + i} = \frac{5}{2} + \frac{1}{2}i $ |
四、小结
复数的运算虽然形式上比实数复杂，但遵循基本的代数规则。通过理解复数的结构和运算方法，可以更方便地处理涉及三角函数、信号分析、电路理论等领域的问题。掌握复数的运算不仅有助于数学学习，也为后续的工程和物理问题提供了有力工具。