【三角函数公式大全】三角函数是数学中非常重要的一部分，广泛应用于几何、物理、工程等多个领域。它主要研究角度与边长之间的关系，包括正弦（sin）、余弦（cos）、正切（tan）等基本函数，以及它们的倒数和相关变换公式。为了便于理解和使用，以下对常见的三角函数公式进行了系统总结，并以表格形式呈现。
一、基本三角函数定义
在直角三角形中，设角α的对边为a，邻边为b，斜边为c，则：
| 函数名称 | 定义式 |
| 正弦（sin） | sinα = a / c |
| 余弦（cos） | cosα = b / c |
| 正切（tan） | tanα = a / b |
| 余切（cot） | cotα = b / a |
| 正割（sec） | secα = c / b |
| 余割（csc） | cscα = c / a |
二、三角函数的基本关系
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 倒数关系 | sinα = 1 / cscα；cosα = 1 / secα；tanα = 1 / cotα |
| 商数关系 | tanα = sinα / cosα；cotα = cosα / sinα |
| 平方关系 | sin²α + cos²α = 1；1 + tan²α = sec²α；1 + cot²α = csc²α |
三、诱导公式（角度转换）
| 角度变化 | 公式表达式 |
| α + 2π | sin(α + 2π) = sinα；cos(α + 2π) = cosα |
| π - α | sin(π - α) = sinα；cos(π - α) = -cosα |
| π + α | sin(π + α) = -sinα；cos(π + α) = -cosα |
| -α | sin(-α) = -sinα；cos(-α) = cosα |
| π/2 - α | sin(π/2 - α) = cosα；cos(π/2 - α) = sinα |
| π/2 + α | sin(π/2 + α) = cosα；cos(π/2 + α) = -sinα |
四、和差角公式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 正弦和差 | sin(α ± β) = sinα cosβ ± cosα sinβ |
| 余弦和差 | cos(α ± β) = cosα cosβ ∓ sinα sinβ |
| 正切和差 | tan(α ± β) = (tanα ± tanβ) / (1 ∓ tanα tanβ) |
五、倍角公式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 正弦倍角 | sin2α = 2sinα cosα |
| 余弦倍角 | cos2α = cos²α - sin²α = 2cos²α - 1 = 1 - 2sin²α |
| 正切倍角 | tan2α = 2tanα / (1 - tan²α) |
六、半角公式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 正弦半角 | sin(α/2) = ±√[(1 - cosα)/2] |
| 余弦半角 | cos(α/2) = ±√[(1 + cosα)/2] |
| 正切半角 | tan(α/2) = ±√[(1 - cosα)/(1 + cosα)] = (sinα)/(1 + cosα) = (1 - cosα)/sinα |
七、积化和差公式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| sinα cosβ | [sin(α + β) + sin(α - β)] / 2 |
| cosα cosβ | [cos(α + β) + cos(α - β)] / 2 |
| sinα sinβ | [cos(α - β) - cos(α + β)] / 2 |
八、和差化积公式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| sinA + sinB | 2sin[(A + B)/2]cos[(A - B)/2] |
| sinA - sinB | 2cos[(A + B)/2]sin[(A - B)/2] |
| cosA + cosB | 2cos[(A + B)/2]cos[(A - B)/2] |
| cosA - cosB | -2sin[(A + B)/2]sin[(A - B)/2] |
九、其他常用公式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 三角函数周期性 | sin(α + 2π) = sinα；cos(α + 2π) = cosα；tan(α + π) = tanα |
| 三角函数奇偶性 | sin(-α) = -sinα；cos(-α) = cosα；tan(-α) = -tanα |
| 三角恒等式 | 例如：sin³α + cos³α = (sinα + cosα)(1 - sinα cosα) |
总结
三角函数公式种类繁多，掌握这些公式有助于解决各类数学问题，尤其在解三角形、求导、积分、物理运动分析等方面具有重要作用。通过上述表格可以快速查阅和应用相关公式，提高学习和工作效率。建议结合图形理解公式的几何意义，从而更深刻地掌握其本质。