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样本标准差计算公式

2025-09-20 13:35:06

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2025-09-20 13:35:06

样本标准差计算公式】在统计学中,标准差是衡量一组数据波动大小的重要指标。样本标准差则是用于描述样本数据与平均值之间偏离程度的统计量,常用于对总体进行推断分析时使用。

样本标准差的计算公式为:

$$

s = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}

$$

其中:

- $ s $ 表示样本标准差;

- $ n $ 是样本容量;

- $ x_i $ 是每个样本数据点;

- $ \bar{x} $ 是样本均值;

- $ \sum $ 表示求和符号。

该公式与总体标准差的区别在于分母使用的是 $ n-1 $ 而不是 $ n $,这是为了使样本标准差成为总体标准差的一个无偏估计。

样本标准差计算步骤总结:

步骤 操作说明
1 收集样本数据,记为 $ x_1, x_2, ..., x_n $
2 计算样本均值 $ \bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i $
3 对每个数据点 $ x_i $,计算其与均值的差 $ (x_i - \bar{x}) $
4 将所有差值平方后求和,即 $ \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 $
5 将总和除以 $ n-1 $,得到方差 $ \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 $
6 对方差开平方,得到样本标准差 $ s $

示例计算(简化版):

假设有一组样本数据:

$ 5, 7, 8, 10, 12 $

1. 计算均值:

$$

\bar{x} = \frac{5 + 7 + 8 + 10 + 12}{5} = \frac{42}{5} = 8.4

$$

2. 计算每个数据点与均值的差并平方:

$$

(5 - 8.4)^2 = 11.56 \\

(7 - 8.4)^2 = 1.96 \\

(8 - 8.4)^2 = 0.16 \\

(10 - 8.4)^2 = 2.56 \\

(12 - 8.4)^2 = 12.96

$$

3. 求和:

$$

11.56 + 1.96 + 0.16 + 2.56 + 12.96 = 30.2

$$

4. 计算方差:

$$

\frac{30.2}{5-1} = \frac{30.2}{4} = 7.55

$$

5. 计算标准差:

$$

s = \sqrt{7.55} \approx 2.75

$$

通过以上步骤,可以清晰地了解如何计算样本标准差,并掌握其实际应用方法。样本标准差在数据分析、质量控制、实验研究等领域具有广泛的应用价值。

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