【大学微积分必背公式】在大学微积分的学习过程中，掌握一些关键的公式是提高解题效率和理解数学本质的重要手段。本文将对常见的微积分必背公式进行总结，并以表格形式清晰呈现，帮助同学们快速记忆与应用。
一、基本求导公式
| 函数 | 导数 |
| $ f(x) = c $（常数） | $ f'(x) = 0 $ |
| $ f(x) = x^n $ | $ f'(x) = nx^{n-1} $ |
| $ f(x) = e^x $ | $ f'(x) = e^x $ |
| $ f(x) = \ln x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x} $ |
| $ f(x) = a^x $ | $ f'(x) = a^x \ln a $ |
| $ f(x) = \sin x $ | $ f'(x) = \cos x $ |
| $ f(x) = \cos x $ | $ f'(x) = -\sin x $ |
| $ f(x) = \tan x $ | $ f'(x) = \sec^2 x $ |
| $ f(x) = \cot x $ | $ f'(x) = -\csc^2 x $ |
二、基本积分公式
| 函数 | 不定积分 | ||
| $ f(x) = x^n $（$ n \neq -1 $） | $ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $ | ||
| $ f(x) = \frac{1}{x} $ | $ \int \frac{1}{x} dx = \ln | x | + C $ |
| $ f(x) = e^x $ | $ \int e^x dx = e^x + C $ | ||
| $ f(x) = a^x $ | $ \int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C $ | ||
| $ f(x) = \sin x $ | $ \int \sin x dx = -\cos x + C $ | ||
| $ f(x) = \cos x $ | $ \int \cos x dx = \sin x + C $ | ||
| $ f(x) = \sec^2 x $ | $ \int \sec^2 x dx = \tan x + C $ | ||
| $ f(x) = \csc^2 x $ | $ \int \csc^2 x dx = -\cot x + C $ |
三、常用三角函数积分与导数
| 函数 | 导数 | 积分 | ||
| $ \sin x $ | $ \cos x $ | $ -\cos x + C $ | ||
| $ \cos x $ | $ -\sin x $ | $ \sin x + C $ | ||
| $ \tan x $ | $ \sec^2 x $ | $ -\ln | \cos x | + C $ |
| $ \sec x $ | $ \sec x \tan x $ | $ \ln | \sec x + \tan x | + C $ |
四、微分法则与积分技巧
| 法则/方法 | 内容 |
| 链式法则 | $ \frac{d}{dx}[f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x) $ |
| 乘积法则 | $ (uv)' = u'v + uv' $ |
| 商法则 | $ \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} $ |
| 分部积分法 | $ \int u dv = uv - \int v du $ |
| 换元积分法 | $ \int f(g(x))g'(x) dx = \int f(u) du $，其中 $ u = g(x) $ |
五、常见极限公式
| 极限表达式 | 结果 |
| $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} $ | $ 1 $ |
| $ \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x} $ | $ 0 $ |
| $ \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} $ | $ 1 $ |
| $ \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} $ | $ 1 $ |
| $ \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x $ | $ e $ |
六、泰勒展开与麦克劳林展开（部分）
| 函数 | 展开式（麦克劳林级数） | ||
| $ e^x $ | $ 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots $ | ||
| $ \sin x $ | $ x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots $ | ||
| $ \cos x $ | $ 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots $ | ||
| $ \ln(1+x) $ | $ x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots $（$ | x | < 1 $） |
总结
微积分作为大学数学的重要基础课程，其核心内容包括导数、积分、极限、微分法则及常见函数的展开等。掌握这些必背公式不仅有助于考试应对，更能提升对数学问题的理解能力。建议同学们在学习过程中不断练习、反复回顾，逐步形成自己的知识体系。
如需进一步了解某个公式的推导过程或应用场景，可参考教材或相关教学视频进行深入学习。